Ich habe euch in einer früheren Knobelei ja schon einmal berichtet, dass ich immer mit der U-Bahn zur Arbeit fahre. U-Bahn kommt ja bekanntlich von Untergrundbahn, so ist es ganz natürlich, dass man sich, um dieses Verkehrsmittel zu benutzen, in den Untergrund begeben muss. Nachdem Stiegensteigen nicht gerade zu meinen Hobbys gehört, bin ich froh, dass es sie gibt, die Rolltreppen. So soll auch diese Knobelei von einer Rolltreppe handeln.
Jüngst habe ich beim Nachhauseweg nach der Rolltreppenfahrt beim Warten auf die U-Bahn einen Knaben beobachtet, der offensichtlich Spaß daran hatte, die Rolltreppe entgegen die Fahrtrichtung zu bewältigen. So rannte er gegen die Fahrtrichtung der Treppe hoch und oben angelangt ging er etwas gemütlicher in Fahrtrichtung wieder hinunter. Beim Laufen gegen die die Fahrtrichtung musste er allerdings seine Schrittfrequenz fünfmal so hoch wählen als beim Steigen in Fahrtrichtung.
In Laufrichtung der Treppe benötigte er 40 Schritte für die ganze Treppenlänge, gegen die Laufrichtung waren es 100 Schritte, die er machen musste. Natürlich lief die Rolltreppe mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Der Knabe nahm bei jedem auch immer nur eine Stufe.
Könnt ihr mir sagen, wie viele Stufen der Rolltreppe sichtbar sind, oder andersrum ausgedrückt: Wie viele Stufen könnte man zählen, wenn die Rolltreppe stillstehen würde.
Bei der Lösung mache ich mir einfache Mathematik zu Nutze.
Der Knabe macht beim Hinunterlaufen - in Fahrtrichtung - 40 Schritte. Die Anzahl der sichtbaren Stufen muss aber größer sein, weil ja mit jedem Schritt des Knaben die Rolltreppe um ein kleines Stück weiterläuft. Dieses kleine Stück will ich einmal d, die Anzahl der sichtbaren Stufen x nennen.
x = 40 + 40 · d
Beim Hinauflaufen - gegen die Fahrtrichtung - macht der Knabe zwar 100 Schritte, aber mit der 5fachen Frequenz. Die Rolltreppe fährt diesmal 100 · d / 5 = 20 · d weit, allerdings in die andere Richtung.
x = 100 - 20 · d
Diese beiden Gleichungen gleichgesetzt:
40 + 40 · d = 100 - 20 · d | + 20 · d - 40
40 · d + 20 · d = 100 - 40
60 · d = 60 | : 60
d = 1
D.h. immer wenn der Knabe einen Schritt nach unten macht, bewegt sich die Treppe um eine Stufe weiter. Beim Hinauflaufen muss der Knabe 5 Schritte tätigen, während die Treppe um eine Stufe hinab fährt.
In eine der oberen Gleichungen eingesetzt ergibt:
x = 40 + 40 · 1
x = 80
Die Rolltreppe hat also 80 sichtbare Stufen.