Schon wieder neigt sich ein Jahr dem Ende zu. Zeit etwas innezuhalten und sich zu fragen, was es gebracht oder genommen hat. Die früher vielleicht einmal stille Zeit vor Weihnachten scheint geeignet, darüber zu reflektieren. In welcher Welt leben wir eigentlich? Ist sie besser als früher? Was alles an Ungerechtigkeit, Intoleranz und Gewalt wird uns tagtäglich per Medien frei Haus geliefert? Wie geht es uns dabei? Der, dessen Geburtstag viele von uns demnächst feiern, hat doch einiges vorgelegt. Das folgende kleine Gedicht von Erich Kästner, dessen Roman "Die Konferenz der Tiere" mich als Kind schwer beeindruckt hat, soll uns daran erinnern.
Dem Revolutionär Jesus zum Geburtstag
Zweitausend Jahre sind es fast,
Seit du die Welt verlassen hast,
Du Opferlamm des Lebens!
Du gabst den Armen ihren Gott.
Du littest durch der Reichen Spott.
Du tatest es vergebens!
Du sahst Gewalt und Polizei.
Du wolltest alle Menschen frei
Und Frieden auf der Erde.
Du wusstest, wie das Elend tut
Und wolltest alle Menschen gut,
Damit es schöner werde!
Du warst ein Revolutionär
Und machtest dir das Leben schwer
Mit Schiebern und Gelehrten.
Du hast die Freiheit stets beschützt
Und doch den Menschen nichts genützt.
Du kamst an die Verkehrten!
Du kämpftest tapfer gegen sie
Und gegen Staat und Industrie
Und die gesamte Meute.
Bis man an dir, weil nichts verfing,
Justizmord, kurzerhand, beging.
Es war genau wie heute.
Die Menschen werden nicht gescheit.
Am wenigsten die Christenheit,
trotz allem Händefalten.
Du hattest sie vergeblich lieb.
Du starbst umsonst.
Und alles blieb beim alten.
Doch nun zu unserem Rätsel. Stellt euch vor, irgendjemand - vielleicht eine böse Hexe (Fantasy ist ja zur Zeit sehr in) - hat die Ziffer 7 gestohlen. Dieses 7-lose Zahlensystem hat also nur mehr 9 Ziffern, nämlich 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 und 9. Die Ziffer 8 hat somit den Wert 7, und die Ziffer 9 den Wert 8. Nach 9 kommt bekanntlich 10, das aber ohne 7 nur den Wert 9 hat. In weitere Folge hat 11 nur den Wert 10, 12 nur den Wert 11 usw. Der nächste Schnitt kommt nach 16, das den Wert 15 hat. Die nächst Zahl lautet nicht 17 - die 7 gibt es ja nicht mehr - sondern 18, dessen Wert allerdings nur 16 ist. In diesem 7-losen Zahlensystem weiterzuzählen ist kein großes Problem. Von einer größeren Zahl den Wert auszurechnen, kann schon einigermaßen anstrengend werden. So möchte ich von euch wissen welchen Wert (in unserem System) die Zahl
4685
im 7-losen System hat.
Hoppla, ich dachte, dass die Frage eindeutig formuliert war. Nachdem das für einige scheinbar nicht so ganz eindeutig war, werde ich nicht so streng sein und beide Möglichkeiten zulassen. Bei beiden Möglichkeiten ist es sinnvoll, sich mit Stellenwertsystemen etwas auseinanderzusetzen. Gemeint ist damit, dass der Wert einer Ziffer davon abhängt, an welcher stelle sie sich befindet. Die Ziffer 3 z.B. hat den Wert 3, wenn sie an der Einerstelle steht aber den Wert 300, wenn sie an der Hunderterstelle steht. Das heißt, um den Wert einer Ziffer zu bekommen, muss sie noch mit dem Stellenwert multipliziert werden. Ein Beispiel soll das veranschaulichen.
Die Zahl 2387 setzt sich so zusammen:
2387 = 2 x 1000 + 3 x 100 + 8 x 10 + 7 x 1
Das Ganze kann auch mit Zehnerpotenzen geschrieben werden:
2387 = 2 x 103 + 3 x 102 + 8 x 101 + 7 x 100
Die Zahl 10 ist dabei die Basis des Zahlensystems und gleichbedeutend mit der Anzahl der zur Verfügung stehenden Ziffern.
Im 7-losen Zahlensystem stehen aber nur 9 Ziffern zu Verfügung, d.h. die Basis ist dort 9. Die einzelnen Stellen haben die Werte
93 = 729, 92 = 81, 91 = 9 und 90 = 1.
1. So war es gemeint: Die Zahl 4685 ist aus dem 7-losen System. Welchen Wert hat sie in unserem vertrauten Dezimalsystem.
Der dezimale Wert der 7-losen Zahl 4685 setzt sich jetzt so zusammen:
4 x 93 + 6 x 92 + 7 x 91 + 5 x 90 = 4 x 729 + 6 x 81 + 7 x 9 + 5 x 1 = 3470
(Die Ziffer 8 tritt natürlich an die siebente Stelle, hat also den Wert 7. Die Ziffer 9 tritt an die achte Stelle, hat also den Wert 8).
2. So war eigentlich nicht gemeint: Die Zahl 4685 ist eine Dezimalzahl und hat natürlich auch den Wert 4685. Wie müsste sie sozusagen "übersetzt" in das 7-lose System lauten.
Umgekehrt ist es etwas komplizierter:
Hier wird zunächst errechnet, wie oft der Wert 729 (93) in der Zahl enthalten ist: 4685 : 729 = 6 (Rest 311)
Dann wird errechnet, wie oft 81 (92) im Rest (311) enthalten ist: 311 : 81 = 3 (Rest (68)
Dasselbe noch mal mit 9: 68 : 9 = 7 (Rest 5)
Die Ergebniszahl wäre dann 6375.
Jetzt muss man nur noch 7 durch 8 und eventuell 8 durch 9 ersetzen.
Die richtige Lösung ist somit: 6385