Monatsknobelei 85

Streichhölzer und römische Zahlen waren in dieser Kombination nicht so ganz der Fall der KnoblerInnen. Das alte Rom werden wir diesmal verlassen, dem Holz bleiben wir allerdings treu. Wir verwenden diesmal allerdings kein Espenholz, wie es für Zündhölzer meist verwendet wird, sondern Zedern- oder Pinienholz, aus dem man unter anderem auch Bleistifte herstellt. Ein Dutzend Bleistifte stehen Dir also zur Verfügung und aus dien 12 Stiften wurde ein rechtwinkeliges Dreieck gelegt.

Wie ihr ja sicher noch aus der Schule wisst, gibt der nach Pythagoras von Samos benannte Lehrsatz einen Zusammenhang zwischen den Längen der drei Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks an. Mehr zu diesem Lehrsatz kannst du z.B. hier erfahren. Doch keine Angst, für die Knobelei wird er nicht benötigt. Für uns ist vielmehr der Flächeninhalt dieses Dreiecks interessant. Bekanntlich errechnet sich die Fläche eines Dreiecks aus Grundlinie mal Höhe durch 2, mehr dazu hier. Bei einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Berechnung insofern leicht, weil die Höhe genau einer Seite entspricht. Wenn wir annehmen, dass die Länge eines Stifts 12cm ist (er wurde schon des Öfteren gespitzt), Dann ist die untere Seite 4 mal 12cm, also 48cm und die rechte Seite bzw. die Höhe 3 mal 12cm, also 36cm. Insgesamt hat das Bleistiftdreieck also eine Fläche von 48cm mal 36cm durch 2, das macht genau 864cm2. Wir sind dabei natürlich etwas großzügig und berücksichtigen die Dicke der Bleistifte nicht, für uns sind das einfach Linien.

Doch nun zur Aufgabe. Es geht auch hier wieder um das Umlegen . Durch Umlegen von möglichst wenigen Bleistiften soll eine geschlossene Figur erzeugt werden, deren Flächeninhalt nur mehr halb so groß ist, also nur mehr 432cm2 hat. Das ganze sollte auch schlüssig bewiesen werden. Macht mir eine kleine Skizze und schreibt mir, warum die Fläche jetzt nur mehr halb so groß ist und freut euch auf das Crazy Game, das dann vielleicht schon bald euch gehört.

Lösung

Mit möglicht wenig Bleistiftortsverlagerungen kann die Aufgabe so gelöst werden.

Ob ein Bleistift jetzt 12cm lang ist oder nicht, spielt für die Beweisführung keine wirkliche Rolle. Ich werde deshalb der Einfachheit halber als neue Längeneinheit das "bl" (Bleistiftlänge) einführen. Die ursprüngliche Fläche ist genau die Hälfte eines Rechtecks mit den Seitenlängen 4bl und 3bl. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist daher 4bl x 3bl = 12bl2. Die Hälfte davon - unser Dreieck - ist dann 6bl2. Durch das Umlegen der vier Bleistifte fällt dann eine Fläche aus drei Quadraten (grau) weg, wobei jedes der Quadrate 1bl x 1bl = 1bl2 an Fläche hat. Insgesamt fallen dadurch als 3bl2 weg und es bleiben 3bl2 übrig, was genau der geforderten Hälfte entspricht.