Monatsknobelei 68

Manch einem wird es wohl ähnlich gehen. Ganz zu Beginn benötigten Sie unseren vollen Einsatz. Danach benötigten Sie erst recht unseren vollen Einsatz. Später benötigten Sie wiederum unseren vollen Einsatz. Plötzlich sind sie fort. Manchmal benötigen sie immer noch unseren vollen Einsatz.

Was das alles soll? Gelernte Eltern wissen, wovon ich spreche, nämlich von unseren Kindern. Meine Ältere ist gerade dabei, ihre Wohnung einzurichten. Mitreden darf man da natürlich nicht, eventuell hat man eine beratende Funktion, aber als Möbelpacker ist man natürlich schon willkommen. Bei einem dieser Möbelhaus-Touren habe ich folgenden netten Tischkalender entdeckt.

Er besteht aus einem Ständer und zwei bunten Würfeln, die auf jeder der sechs Seiten eine Ziffer aufgedruckt haben. Meine Frage lautet nun. Kann man mit diesen zwei Würfeln alle Zahlen von 00, 01, 02, ... bis 31 darstellen und wie muss die Verteilung der 10 Ziffern auf die beiden Würfel aussehen?

Lösung

Die Antwort gleich vorweg, man kann, allerdings mit einem Trick, indem man die 6 umgedreht auch als 9 benützt. Dass die Darstellung von 00 bei einem Kalender wohl unnötig ist, ist klar, ändert aber nichts an der Lösung. 

Bei der Antwort möchte ich einen Teilnehmer Herrn Werkmeister, der wohl  Knobelmeister heißen müsste, zu Wort kommen lassen. Er hat den Sachverhalt auf umfassende Weise dargelegt.

Im mathematischen Sinn streng genommen ist es nicht möglich, die Ziffern 0 bis 9 derart auf zwei Würfel zu verteilen, sodass alle Zahlen von 01 bis 31 mit ihnen dargestellt werden können; es geht aber mit einem Trick dennoch (s.u.).

  1. Da die Zahlen 11 und 22 darstellbar sein müssen, müssen die Ziffern 1 und 2 auf beiden Würfeln vorhanden sein. Für die Ziffern 3 bis 9 und 0 (8 Ziffern) hätte man nun noch 8 freie Positionen auf den beiden Würfeln, aber:
  2. Da die Zahlen (0)1 bis (0)9 ausdrücklich mit führender 0 (Null) dargestellt werden sollen, muss auch die 0 auf beiden Würfeln vorhanden sein, da sonst die 0 nicht mit *jeder* Ziffer 1 bis 9 kombinierbar wäre. Es verbleiben also nur noch 6 freie Positionen für 7 verbleibende Ziffern --> eigentlich unlösbar; aber ein Trick hilft:
  3. Verwendet man für die Ziffern 6 und 9 dasselbe Zeichen (durch Drehen des Würfels) benötigt man für die verbleibenden 7 Ziffern 3 bis 9 lediglich 6 freie Positionen auf den beiden Würfeln; dies ist möglich.
  4. Die Ziffern 3 bis 9 (6 und 9 nun als "eine Ziffer" betrachtet) können prinzipiell beliebig auf die freien Positionen der beiden Würfel verteilt werden. Betrachtet man die beiden Würfel als ununterscheidbar ergeben sich daraus 10 mögliche Verteilungen:   6! / (2 * 3! * 3!) = 10
  5. Ergonomisch gesehen ist diejenige Verteilung optimal, bei der die beiden Würfel möglichst selten die Plätze tauschen müssen (z.B. von 16 nach 17, wenn die 6 auf Würfel 1, die 7 aber auf Würfel 2 ist). Das ist gewährleistet, wenn die Ziffern auf den einzelnen Würfeln möglichst "zusammenhängend" sind. Die erfüllt die Verteilung:
    Würfel 1: 0, 1, 2, 3, 4, 5 und Würfel 2: 0, 1, 2, 6(9), 7, 8
  6. Ordnet man die Ziffern, wie bei Würfeln üblich, so an, dass die "Augen"-Summe der gegenüberliegenden Seiten eines Würfels immer konstant ist, ergibt sich daraus eine Anordnung ("aufgefalteter Würfel) gemäß:

Würfel 1:
  0
  1
2 5 3 (Summe gegenüberliegender Seiten immer 5)
  4

Würfel 2:
  0
  1
2 8 6(9) (Summe gegenüberliegender Seiten (fast) immer 8)
  7

Dem ist nichts mehr hinzuzufügen.