Stell dir ein ganz normales Puzzlespiel vor, das aus solchen Teilen besteht, wie du unten dargestellt siehst. Es gibt da genau 4 Eckteile, die je zwei gerade Seiten haben, eine Menge Randteile, die eine gerade Seite haben und einen Haufen von Mittelteilen, die keine gerade Seiten aufweisen.
Interessanterweise gibt es aber nur zwei Puzzlegrößen, wo die die Anzahl der Eck- und Randteile zusammen genau der Anzahl der Mittelteile entspricht.
Aus wie vielen Teilen bestehen diese beiden Puzzlegrößen jeweils?
Nimm an, dass bei dem Puzzle die längere Seite aus a und die kürzere Seite aus b Teilen besteht.
Das gesamte Spiel hat dann a · b Teile.
Das Innere hat nur (a - 2) · (b - 2) Teile.
Dabei müssen a und b mindestens 3 sein, sonst gibt es kein Inneres.
Da das Innere aus der Hälfte aller Teile bestehen soll muss gelten:
a · b = 2 · (a - 2) · (b - 2)
Wenn du diese Gleichung nach a auflöst kommst du auf:
a = 4 · (b - 2) / (b - 4)
Um für a einen positiven Wert zu bekommen, muss der Nenner positiv sein und somit b größer oder gleich 5. Wenn du in die Gleichung 5 bzw. 6 einsetzt, bekommst du für a 12 bzw. 8. Ein b, das größer als 6 ist, ergibt ein a, das kleiner als b ist. Da du zu Beginn angenommen hast, a sei größer als b, scheiden diese Fälle als Lösung aus.
Die einzigen möglichen Puzzlegrößen sind demnach:
5 mal 12 = 60
6 mal 8 = 48